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Spektrometeroptik


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Einleitung


Ein Spektrograph dient zur Aufspaltung des Lichtes in ein analysefähiges Spektrum. Während früher überwiegend Prismenspektrographen verwendet wurden, finden heute überwiegend Gitterspektrographen Anwendung. Die nachstehende Skizze zeigt  den prinzipiellen Aufbau eines klassischen Spektrographen.



 

Der Spalt soll ein möglichst punktförmiges Objekt für den Kollimator erzeugen, sodass dieser das vom Spalt ausgehende Strahlenbündel parallelisieren kann. In der Praxis kann ein Spalt dies nicht erreichen, da er dann unendlich schmal sein müsste.
In der nachstehenden Skizze sieht man, dass lediglich der Punktstrahl (bei gut justiertem Kollimator) parallel zur optischen Achse verläuft, während die Nebenstrahlen nicht parallelisiert werden.



Dies führt dazu, dass diese Strahlen nicht parallel auf das Gitter treffen. Die theoretisch erreichbare Auflösung des Gitters wird damit nicht erreicht. Diese gilt nur für unendlich schmale Spalte (exakt paralleles Licht). Das Gitter zerlegt das durch den Spalt tretende Licht durch Interferenz in ein Spektrum (Intensitäten gegen Wellenlängen).  Das Spektrum wird dann mit einem Objektiv im Fokus abgebildet. Am Fokus kann zur visuellen Beobachtung ein Okular oder zur fotographischen Aufzeichnung eine CCD Kamera angebracht sein.

Die Winkel am Reflexionsgitter können über die Gittergleichung berechnet werden:

(sin(α) + sin(β)) =n λ / g

Der sogenannte totale Winkel ψ ist der Winkel zwischen einfallendem und ausfallendem Strahl am Gitter und ist somit eine feste Größe eines jeden Spektrometers. Er wird durch geometrische Gegebenheiten durch den Entwickler festgelegt. Je kleiner dieser Winkel ist, desto effizienter arbeitet das Gitter. Aus dem totalen Winkel können Ein- und Ausfallswinkel für eine gegebene Wellenlänge bestimmt werden: 

α = arcsin(k/2cos(ψ/2 ))+ψ/2

Mit k = n λ / g. Der Ausfallswinkel ergibt sich dann zu: β = α ψ

 

Das theoretische Auflösungsvermögen eines Beugungsgitters wird über A = N*n berechnet. N ist hier die Anzahl der beleuchteten Gitterlinien und n die Ordnung, in der beobachtet wird und meistens n = 1. Diese Auflösung wird in einem realen Spektrometer im Allgemeinen nicht erreicht. Zur Herleitung einer Formel für das reale Auflösungsvermögen nutzt man genau die in obiger Zeichnung dargestellte Tatsache aus. Man erhält dadurch:

A = λ / dλ= fkoll n λ / [b g cos(α)] 

Hier ist n die Ordnung, λ die Wellenlänge, b die Spaltbreite, g die Gitterkonstante und α der Einfallswinkel auf das Gitter.

S/N vs. Auflösung

 

Bei der Auslegung eines Spektrometers müssen einige Dinge beachtet werden. Ganz allgemein besteht die Aufgabe des Konstrukteurs darin, einen Kompromiss zwischen Intensität und Auflösung des Spektrometers zu finden. Insbesondere in der Astronomie ist diese Aufgabe schwierig, da die von astromischen Objekten ankommende Strahlung keine hohe Intensitäten aufweisen. Es hängt also von der Helligkeit des Objektes selbst ab, wie weit man das Spektrum aufspalten kann um ein gefordertes S/N (Signal- zu Rausch-Verhältnis; SNR signal-to-noise-ratio) zu erhalten. Hohe (lineare) Dispersion bedeutet dabei, dass man die Intensität der Quelle auf eine große Fläche verteilt. Das S/N ist ein wichtiges Kriterium zum Vergleich von Spektren untereinander und zur Qualitätsbestimmung. Bei hohem Rauschanteil kann oft Artefakt und wirkliche (Absorptions-) Linie nicht mehr unterschieden werden. Die Identifizierung schwacher Linien wird damit schwierig und unsicher.

 

Beispiel:

Ein Spektrograph habe eine niedere Dispersion von 4 Å/Pixel. Dann wird das Signal der Quelle in Intervallen von 4 Å auf ein Pixel abgebildet. Bei gleichen Bedingungen und höherer Dispersion von 1 Å/Pixel würde das Signal pro Pixel geviertelt werden. Damit vervierfacht sich die nötigte Belichtungszeit um das gleiche Signal zu erhalten. Das S/N wird berechnet zu S/N = S/(S + B)1/2  (S = Signal, B = Rauschen). Im idealsten Fall (B = 0) ohne Rauschen, ist S/N = S1/2 -> Vervierfachung des Signals bringt lediglich eine Verdopplung des S/N.

 

Der Spalt, welcher die Auflösung des Spektrometers (neben einigen anderen Sachen) bestimmt, soll aus Sicht des S/N möglichst groß gewählt werden, während aus Gründen der Auflösung er möglichst klein gehalten werden soll. S/N und Auflösung sind unvereinbare Größen, welche einen klugen, an die Beobachtungsziele angepassten Kompromiss fordern. Zur Abschätzung des Lichtverlustes am Spalt, nehmen wir die Intensitätsverteilung des Sterns als gaußförmig an.

 

 


Spalt, Schnittdarstellung

 

In der obigen Abbildung markiert der gelbe Streifen den Durchmesser des Seeingscheibchens des Sterns im Teleskopfokus. Die eingezeichnete Intensitätsverteilung veranschaulicht die durch den Spalt hervorgerufene Vignettierung. Die Flanken der Gaußverteilung werden abgeschnitten. Um zu berechnen, wie stark der Spalt vignettiert, muss die FWHM (full-width-at-half-maximum) der Gaußverteilung bekannt sein. Dazu verwenden wir, dass ein Objekt der Winkelausdehnung a einen Durchmesser d = f*tan(a) im Fokus eines Teleskops mit der Brennweite f hat. Das Seeing kann hier in Deutschland mit 4" angenommen werden. Manchmal ist es besser, meistens aber nicht schlechter (stark vom Beobachtungsstandort abhängig). Bei einem Teleskop mit f = 1200 mm ergäbe sich dann: FWHM = d = 23 Mikrometer. Nun müsste, für einen 25 Mikrometer breiten Spalt, die Gaußverteilung von -12,5 Mikrometer bis 12,5 Mikrometer integriert werden und ins Verhältnis der Gesamtfläche gesetzt werden. Die Integration über den gesamten Gauß liefert: A = FWHM * (Pi/2)1/2. Die Integration über den Spalt ist nur numerisch zu lösen. Am einfachsten nähert man ihn mit einzelnen schmalen Balken an und addiert die zwischen den Grenzen liegenden. Der Spalt ist nur auf einer Seite in seiner Breite begrenzt, daher können wir das Ergebnis der numerischen Integration mit der Gesamtfläche multiplizieren, um die räumlich verteilte Intensität zu erhalten. Wenn wir dies nun ins Verhältnis setzen, müssen wir auch A quadrieren.



Gaußverteilung (x > 0) für FWHM = 46 Mikrometer

Beispielsweise ergibt sich für ein Seeingscheibchen von 46 Mikrometer und einer Spaltbreite von 25 Mikrometer eine "Spalteffizienz" von 42 %. Wählt man als Spalt ein kleines, kreisrundes Loch (Pinhole) mit 25 Mikrometer Durchmesser, dann muss man das Ergebnis der numerischen Integration quadrieren. Das Verhältnis liefert dann eine Effizienz von nur noch 18 %.
 

Das Teleskop und der Spalt

Das Teleskop fungiert als Lichtsammeleinheit für den Spektrographen. Es hat die Aufgabe, soviel Licht wie möglich in den Spektrographen zu koppeln. Daher muss ein Spektrograph an ein Teleskop, bzw. beide Einheiten (Teleskop und Spektrograph) aneinander angepasst werden. Das Teleskop wird zum einen durch sein Öffnungsverhältnis charakterisiert. Das Öffnungsverhältnis F/D setzt den Durchmesser D und die Brennweite F des Teleskops ins Verhältnis. Für ein Teleskop mit 10 cm Durchmesser und 100 cm Brennweite ergibt sich daher F/D = 10. Man schreibt auch oft die F-Zahl F# = F/10. Besitzt  ein Teleskop beispielsweise eine F# = F/5, dann sagt man auch, dass dieses Teleskop „schneller“ ist, im Vergleich zum F/10 Teleskop.


Der Kollimator des Spektrographen soll daher die gleiche (keines falls langsamer) F# wie das Teleskop haben. Ist der Kollimator zu langsam, so geht dort Licht verloren, da es über den Kollimator hinaus strahlt und von diesem nicht mehr parallelisiert wird. Im anderen Fall, ist der Kollimator nicht komplett ausgeleuchtet. Dies führt zwar nicht zu Lichtverlust, jedoch ist die Reduzierung der Teleskopbrennweite in diesem Fall Vorteilhaft. Die Größe des Seeingscheibchens hängt ja von der Brennweite ab. Reduzieren wir also die Brennweite so, dass der Kollimator ideal ausgeleuchtet wird, dann reduziert sich die Größe des Seeingscheibchens und es gelangt mehr Licht durch den Spalt, bzw. kann ein kleinerer Spalt verwendet werden, um die Auflösung zu erhöhen.


 

Um die Brennweite eines Teleskops zu reduzieren, kann eine sogenannte Shapley-Linse in den Strahlengang es Teleskops gesetzt werden. Dabei handelt es sich im einfachsten Falle um einen Achromaten mit positiver Brennweite. Je nachdem, wie stark die Brennweite verkleinert werden soll, können die Abstände der Linse mit bekannter Brennweite über die Linsengleichung (1/f = 1/g + 1/b; f = Brennweite, b = Bildweite, g = Gegenstandsweite) berechnet werden.

Eine sogenannte Barlow-Linse wird zur Brennweitenerhöhung eingesetzt. Hier handelt es sich im einfachsten Falle um einen negativen (f < 0) Achromaten. Die Berechnung findet ebenfalls über die Linsengleichung statt.

 

Im Falle eines spaltlosen Spektrographen übernimmt das Seeingscheibchen die Rolle des Spaltes im dem Sinne, dass es die Auflösung bestimmt. Neben der Spaltbreite aber, bestimmt auch die Brennweite des Kollimators die Auflösung. Nach der Gleichung d = f*tan(a) ist das Seeingscheibchen umso kleiner, je kürzer die Brennweite des Teleskops. Im Umkehrschluss bedeutet dies: Je schneller das Teleskop, desto kleiner das Seeingscheibchen und desto schneller muss der Kollimator sein. Die Brennweite des Kollimators kann aber nicht beliebig hoch gewählt werden. Die kommerziell im Handel erhältlichen Beugungsgitter sind maximal 50 mm x 50 mm groß. Damit am Gitter keine Lichtverluste auftreten, darf der Durchmesser des Lichtkegels in der Ebene des Kollimators nicht größer sein, als das Gitter. Hinzu kommt noch, dass das Gitter gegenüber des einfallenden Strahls geneigt ist. Daher wird kein Kreis, sondern eine Ellipse auf dem Gitter ankommen.

Das Beugungsgitter

 

In jedem Spektrometer wird ein dispersives Element verwendet, um das polychromatische Licht, welches vom Kollimator parallel gemacht wurde in ein Spektrum zerlegt. Heute trifft man überwiegend Beugungsgitter in Spektrometern an. In der Astronomie wurden jedoch Anfangs sehr häufig Objektivprismen verwendet, welche vor das Teleskop am Tubus befestigt wurden und es erlauben mehrere Sterne gleichzeitig aufzunehmen. So wurden die ersten großflächigen spektroskopischen Durchmusterungen des Himmels durchgeführt.

 

Beugungsgitter kann man einmal auf Grund des Herstellungsverfahres einteilen. Sogenannte geritzte Gitter werden durch Replikation eines Mastergitters hergestellt. Das Master wird in einer mechanischen Maschine mit einem speziellen Ruling- Tool hergestellt. Die Replikation erfolgt dann durch die Erzeugung eines Abdrucks des Masters auf ein Trägersubstrat (Quarzglas, BK7, etc.).

Diese Gitter sind in der regel geblazed, was soviel heist, dass das Linienprofil so ausgelegt wird, dass man in einer Ordnung maximale Effizienz erhält. Dieses Linienprofil weist dann einen Rechtenwinkel und einen sogenannten Blazewinkel θ auf.

Blazegitter werden für Spektrometer eingesetzt, in denen ein größerer Wellenlängenbereich abgedeckt werden soll.

Symmetrische (not- geblazed) Gitter können so ausgelegt werden, dass sie für einen engen Wellenlängenbereich nur die 0. und 1. Ordnung erzeugen und damit für diese Wellenlänge eine hohe Effizienz aufweisen. Allerdings sind sie dann für andere Wellenlängenbereiche nicht mehr zu gebrauchen.

Beispiele für symmetrische Gitter sind kommerzielle holographisch hergestellte Gitter. Jedoch können auch holographische Gitter mit speziellen (teueren) Techniken eine Blazeform erhlaten. Im Astroamateurebereich wird eigentlich nur ein holographisches Gitter mit 2400 l/mm verwendet, da diese für den visuellen Bereich des Spektrums mechanische in der Regel schwierig herzustellen sind. Ansonsten werden überwiegend Blazegitter eingesetzt, da diese gegenüber einfachen holographischen Gittern bessere Effizienzen über den gesamten VIS- Bereich aufweisen.

Die Effizienz der Beugungsgitter hängt von Rauheiten der Gitterfläche ab, da hierdurch Streulicht entstehen kann. Aus diesem Grund weisen holographische Gitter weniger Streulicht auf und sind weitgehend frei von sogenannten Gitter- Geistern. Die nachfolgende Aufnahem wurde mit dem Rasterelektronenmikroskop aufgenommen und zeigt ein repliziertes Blazegitter mit 1800 l/mm, welches von Thorlabs bezogen wurde.



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Zu erkennen ist in diesem Bild die angesprochene Rauheit. Verglichen mit der nächsten Aufnahme eines geritzten Mastergitters fällt sofort auf, dass durch die Replikation das scharfkantige Linienprofil verwischt.


Aus: Diffraction Gratings and Applications, Erwin G. Loewen und Evgeny Popov

 

Das Echellespektrometer


Im Echellespektrometer wird ein Beugungsgitter (Echellegitter) mir hohem Blazewinkel und geringe Liniendichte (typ. 30 bis 80 l/mm) verwendet, was dazuführt, dass die Intensität in hohe Ordnungen gebeugt wird. Weiterhin muss das Echelle unter einem großen Winkel angestrahlt werden, weswegen man eine hohe Dispersion erreicht. Die hohen Ordnungen (typ. 20. bis 150. Ordnung) überlappen jedoch sehr stark. Blickt man daher nach dem Echelle auf das gebeugte Licht so sieht man einen weißen Streifen, da sich die vielen Ordnungen wieder überlagert haben und weißes Licht erzeugen.
Aus diesem Grund wird ein Cross-Disperser verwendet (Prisma oder Beugungsgitter), welches mit seiner Dispersionsrichtung senkrecht zu der des Echellegitters steht und die Ordnungen somit auffächert.

 

 



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